Kako se može pospešiti uspešnost učenika u rešavanju matematičkih problema?

Abstract

Osnovno istraživačko pitanje kojim se bavimo u ovom radu je pitanje identifikovanja pogrešnih strategija i osnovnih prepreka u rešavanju problemskih zadataka iz matematike, kako bi se definisale uspešne podrške u procesu rešavanja, a koje dovode do uspeha. Istraživanje je realizovano u dve faze. Kvalitativnim istraživanjem, u uslovima individualnog rada ili rada u paru na zadatku, nastojali smo da utvrdimo na koje načine učenici greše i na koje poteškoće nailaze pri rešavanju zadataka smeštenih u realan kontekst, kao i da se utvrdi koje od tih grešaka i poteškoća su tipične. Analizom sadržaja verbalnih iskaza učenika tokom rešavanja zadataka izdvojeni su problemi koji čine strategije rešavanja neefikasnim. Kvantitativnim istraživanjem proveravali smo u kojoj meri su greške i poteškoće ustanovljene u prethodnoj fazi tipične, što može biti jasan dijagnostički znak koji ukazuje na sistemski nedostatak u nastavi matematike i instrumentima za procenu postignuća učenika. Uzorak učenika obuhvata petnaestogodišnjake, odnosno učenike prvog razreda iz četiri srednje škole u Beogradu. U kvalitativnom delu istraživanja učestvovalo je petnaest učenika, a u kvantitativnom trista sedamdeset i devet učenika. Uzorak škola je prigodan, a u svakoj školi su testirana cela odeljenja koja su nasumično izabrana. Uzorak zadataka čini šest problemskih matematičkih zadataka, od kojih su četiri preuzeta iz međunarodnog programa provere učeničkih postignuća (OECD/PISA), a dva su sastavili autori ovog rada. Zadaci su smešteni u realan kontekst i u skladu su sa uzrastom i iskustvima ispitanika. Zadaci testiraju različite matematičke kompetencije i graduirani su po kompleksnosti. Analizom sadržaja verbalnih iskaza učenika tokom rešavanja zadataka izdvojili su se sledeći problemi koji čine strategije rešavanja neefikasnim: (1) Izbor relevantnih podataka - pokazalo se da su učenici imali pogrešna očekivanja da svi dati podaci moraju da se upotrebe da bi se došlo do rešenja; (2) Čitanje slikom datih podataka - slika je ometala proces rešavanja zadataka na sledeće načine: pogrešno interpretiranje slike, pogrešno interpretiranje zbog nejasnoće u grafičkom prikazu podataka, proveravanje i upoređivanje podataka koji su dati slikom i tekstom, što dovodi do usporavanja procesa rešavanja zadatka; (3) Povezivanje različitih faza u rešavanju zadatka - pokazalo se a učenici pokušavaju da direktno dođu do rešenja bez prethodne analize raspoloživih podataka; (4) Predstavljanje, shemom ili na mentalnom planu, podataka o prostornom rasporedu objekata. Na osnovu uočenih problema, intervenisali smo u zadacima tako da se izbegnu tipične greške ili pomogne učenicima u prelasku na naredne faze rešavanja problema. Za svaki zadatak formulisane su dve olakšane verzije: B verzija, u kojoj je dat direktniji prikaz podataka, i C verzija, u kojoj se učenici navode na prvi korak u rešavanju zadatka za potrebe ovog rada prikazane su analize koje se odnose na problemski zadatak iz oblasti verovatnoće u kojem su podaci dati grafikom. U kvalitativnom delu istraživanja se pokazalo da većina učenika zna za pojam verovatnoće, iako se sa tim pojmom nisu susreli u školi, i prevode ga pojmovima 'šansa' ili 'mogućnost'. Taj pojam je toliko prirodan učenicima da neki nisu ni znali da u školi nisu učili ništa o verovatnoći. Rezultati kvantitativnog dela istraživanja pokazuju da je veći problem učenicima da podele problem u faze nego sam koncept verovatnoće. Jasno je da ovaj koncept treba na jedan naivan način mnogo ranije izučavati u školi, a najviše zbog velikog značaja koji verovatnoća i statistika igraju u savremenom društvu. Statističko-verovatnosni koncepti se danas ubrajaju u opšteobrazovne, i skoro da nema poslova gde se za prijem ne rade testovi koji sadrže probleme iz ove oblasti. Problem manjka verovatnoće i statistike u nastavi matematike u Srbiji je sistemski i biće bolje za nastavu matematike ako se ovi koncepti uskoro nađu u nižim razredima osnovne škole. Problemi iz verovatnoće i statistike su po svojoj prirodi realistični i mogu u velikoj meri inspirisati učenike. Osim toga, poznavanje osnovnih statističkih koncepata proširuje učenicima mogućnosti za istraživački rad, ne samo iz predmeta matematika već i u drugim oblastima. Nalazi istraživanja mogli bi da imaju implikacije i na sistemska rešenja koja se primenjuju u obrazovanju, ali i na svakodnevnu nastavnu praksu. Inoviranje programa inicijalnog obrazovanja nastavnika matematike, kao i programa kurikuluma za osnovne i srednje škole, trebalo bi da ide u pravcu podržavanja nastavničkih kompetencija za problemsku i projektno organizovanu nastavu kojom bi se podržali viši oblici mišljenja kod učenika. U očekivanju promena na sistemskom nivou moguće je unaprediti i svakodnevni rad u učionici tako što bi se kroz problemske zadatke i kooperativni rad učenika na njima postigao viši stepen angažovanja učenika u nastavi, podigao kvalitet nastave i unapredila obrazovna postignuća učenika u oblasti matematike.

The basic research question dealt with in this study is how to identify the main obstacles that students encounter in solving tasks in mathematics in order to define typical steps in mastering the mathematical skills needed for solving the applied tasks. In conceptual terms, this study is situated into the contemporary definition of mathematical literacy as a competence that allows the individual to understand the world in which he/she lives, and makes him/her qualified to make informed decisions (e.g. OECD / PISA). This research had two phases. Study was divided into two phases, both of them included sample of first-grade high school students, which is consistent with the PISA criteria for determining sample. During students' individual or interactive work on tasks, their comments were collected as qualitative data in order to determine the ways in which students make mistakes, what are the difficulties encountered if the tasks are placed in a realistic context, and to determine which of these errors and problems are typical. Content analysis of students' verbal communication during task solving served to extract the problems that make solving strategies ineffective. In the second (quantitative) phase of our research, we tested if they could be used as a clear diagnosis that indicates a systemic deficiency in the teaching of mathematics and instruments for assessing student achievement. The sample consisted of 379 first grade students of Belgrade high schools. The results show that the concept of probability is intuitively close to the students' experience. Narrative rather than a graphical display of data is more efficient support in problem solving. Suggesting step-by-stepapproach to problem solving significantly increases performance. Recommendation for teaching practice is to introduce the concept of probability at earlier school ages and to integrate it with other themes in mathematics. Problem-solving strategies should be developed through active teaching of mathematics, in particular the skills of subdivision of a problem into stages.